Интеграция математики в физику

[Sonyc]

Вопрос: как пользоваться интегралами в решении задач по физике?

пример задачи: вагонетка с песком съезжает по наклонной плоскости без начальной скорости с высоты Н. Через дырку в днище с постоянной скоростью массового расхода сыпется песок. На какой высоте h расположен центр масс получившейся песчаной дорожки, если полное опорожнение вагонетки произошло у основания наклонной плоскости? Коэффициент трения вагонетки о плоскость считать постоянным.

[ScaN]

Про интеграцию - глупость.

Тебя интересует использование интегралов вообще или решнение конкретной задачи?

[Vit@s]

Физика в универе построена на высшей математике ... и если ты первый курс не пропускал физики то там четко все уравнения строятся на производных, а что такое производная ... нука вспомни молодой человек +)
.........................
к примеру элементарное : скорость - первая производная от ускорения, а путь - 2 производная ...

[ScaN]

В том-то и дело, что одни говорят "физика - это самое главное приложение математики", другие - "математика является частью теоретической физики". И с тем и с другим трудно поспорить.
Быть может я неправильно понимаю слово "интеграция". По-моему, это когда что-то маленькое и необязательное входит в что-то большое. Например, звук и ЛАН интегрированы в материнскую плату. Или же интеграция России в Евросоюз. (хотя последний пример менее удачен ;-) )
Ну а сказать, что математика интегрирована в физику ни относительно первого высказывания "..." ни относительно второго утверждать нельзя.
Я это имел ввиду.

Ну а на мой вопрос Соник еще не ответил.

[Sonyc]

   Ну, название темы - это сокращение от "применение элементов высшей математики в решении задач по физике", а "интеграция" от того, что если раньше они не применялись. Говорят же "интеграция новых методов", например ))
   Насчет отношений между физиками и математиками - обычно бывает так: физики открывают явление, или процесс, или объект... и говорят математикам, что вот, мы открыли. Те садятся и пытаются все это дело описать, объяснить математически. У них все получается, и они говорят: Ура, мы крутые! Потом физики берут то, что придумали крутые, и начинают пользоваться. ТО, математика - инструмент, физика - основная область его применения.
   Эту задачу я привел просто как пример. Меня интересует... порядок решения, что ли... Правила какие-нибудь применения в частности интегрального-дифферкнциального исчисления.

[Vit@s]

Тогда ты сам ответил на свой вопрос. Высшая математика - способ реализовать физические процессы в формулах. Причем на данном этапе используется высшая математика с интегралами, производными и рядами. Иначе говоря с помошью математики ты можешь описать физическое явление, вспомним к примеру закон сохранения импульса м т.д. +)

[Sonyc]

Правильно! )) Вот я и хочу описать, но не знаю, как это сделать. Математика рассматривает все свои методы не как методы решения задач, а как самостоятельные задачи. И абсолютно не учит их использовать в  реальных условиях. Учить должна бы физика, но я такого не встречал(((... Поэтому и спрашиваю, может кто знает и может объяснить... Хоть вкратце.

[ScaN]

Я убежден, что физика и математика крайне близки и различны лишь в том, что физика изучает и описывает свойства нашей вселенной с привязкой к конкретным явлениям, и математика - без. Соглашусь с г-ном Арнольдом, который утверждает, что математика и физика различаются почти лишь в том, что в физике эксперимент может стоить миллионы, а в математике эксперимент бесплатен.

Математика рассматривает все свои методы не как методы решения задач, а как самостоятельные задачи. И абсолютно не учит их использовать в  реальных условиях.

Математика рассматривает наиболее общие абстрактные свойства этого мира, а математические методы - наиболее общие методы решения любой (!) задачи, даже цикла гуманитарных наук. Ну а учит, к сожалению, не математика, а учитель или лектор. Потому и не срост.
Послано: 30 Сентября 2007, 21:59:52Интеграл - это обощение суммы конечной последовательности чисел на бесконечно-непрерывный (континуальный) случай.
Я буду исходить из того, что усвоены понятие интеграла Римана, сумм Дарбу и смысл интеграла как площади под графиком функции (криволинейной трапеции).
Задача1. В первую минуту мама дала Антону 1 яблоко. Во вторую - 2. Потом 4,8 и т.д. Сколько яблок у Антона на четвертой минуте?
Задача2. Скорость истечения воды из прорвавшейся плотины в момент прорыва составила 1 тыс.кубометров в секунду и описывается ур-ем v=2^t, где t - время с момента прорыва. Чему равен объем истекшей воды за первые 4 секунды?
Рисунки прилагаются. К сожалению, я не умею рисовать яблоки и плотины, зато нарисовал графики. :-)
Если первую задачу в общем случае можно решить обычной суммой, то вторую - интегральной суммой, а точнее интегралом.

Это был пример использования интеграла в физике. Кстати, а похожи ли эти две задачи на физические задачи? Плотина притянута за уши ко второй задаче, равно как и яблоки к первой. Это именно математическая задача. Физической она станет тогда, когда для решения потребуется вспомнить законы природы и прилагающиеся к ним формулы. А после этого вспоминания задача превратится в математическую. Вот и подумайте чего больше: математики в физике или физики в математике.
Ну это была лирика. Щас покушаю, попью чай и напишу решения задачи Соника.

[Sonyc]

 Конкретный вопрос по изначальной задаче: Какой будет функция координаты центра масс от времени, соответственно, общий вид решения, и вывод всего этого с объяснениями?

[ScaN]

Я же сказал, попью чай и все выложу. А пока нате Вам рисунки:

Послано: 30 Сентября 2007, 23:11:18

к примеру элементарное : скорость - первая производная от ускорения, а путь - 2 производная ...

Поправлю: "...а от пути - вторая"
Послано: 30 Сентября 2007, 23:16:53Я буду обозначать интеграл от f(x) так: $f(x)dx. А определенный интеграл - так $[b,a]f(x)dx, где а - верхний предел опреленного интегрирования.

пример задачи: вагонетка с песком съезжает по наклонной плоскости без начальной скорости с высоты Н. Через дырку в днище с постоянной скоростью массового расхода сыпется песок. На какой высоте h расположен центр масс получившейся песчаной дорожки, если полное опорожнение вагонетки произошло у основания наклонной плоскости? Коэффициент трения вагонетки о плоскость считать постоянным.

Коэф.трения постоянный, значит, можем считать, что вагонетка движется прямолинейно равноускоренно. Проекция этого ускорения а на ось у - это ау. Общее время пути вагонетки находим из формулы:
H=(ay*t^2)/2   (кстати эта формула получается как инеграл. Угадай какой? Прально. Такой $($a dt)dt=$(a*t+v)dt=(a*t^2)/2 + vt + s0.
t=sqrt(2*H/ay)   (sqrt - square route - квадратный корень)
Пусть скорость истечения песка - v. Тогда всего песка было m=v*t. Для разогреву решим такую задачу: сколько по массе песка оставляет за собой вагонетка в момент времени t?
Решение: автор поленился и предоставил решить самим.
Ответ: m(t)=$[0,t]v dt= vt. Что вполне очевидно. Сколько успело вытечь за время t со скоростью истечения t - столько и имеем.

Теперь поговорим о центре тяжести. Для этой задачи не требуется вводить строгого определение центра тяжести кучки песка. Будем считать, что центр тяжести в точке с, если слева от с и справа от с равное количество песка. (равная масса, если вам так угодно Ща продолжение напишу...

[ScaN]

Масса песка выкинутого с момента t1 до t2 равна m(t2)-m(t1)=v*t2 - v*t1= sqrt(2*H2/ay)*v - sqrt(2*H1/ay)*v= v*( sqrt(2*H2/ay)-sqrt(2*H1/ay) ), где H1 и H2 - высоты вагонетки, соответствующие моментам времени t1 и t2.
Допустим, вагонетка проехала уже t2 секунд и находится на высоте h2. Мы говорим, что центр масс находится на высоте h (этой высоте соответствует момент времени t), если до h и после h рассыпано равное количество песка. Т.е. m(t)-m(0)=m(t2)-m(t),
что эквивалентно:
v*sqrt(2*h/ay) - 0=v*(sqrt(2*h2/ay) - sqrt(2*h/ay))
2*v*sqrt(2*h/ay)=v*sqrt(2*h2/ay)
2*sqrt(2*h/ay)=sqrt(2*h2/ay)
4*2*h/ay=2*h2/ay
4*h=h2
А если вагонетка полностью спустилась с наклонной плоскости, т.е. h2=H, то:
h=H/4.

Ответ: h=H/4.

[Sonyc]

 Правильное решение:
 Примем за начало отсчета верхнюю точку наклонной плоскости.
 Так как ускорение движения вагонетки вдоль наклонной плоскости постоянно, по ОУ оно тоже постоянно. Т.о., имеем y=ay*t^2/2.
Если обозначить скорость массового расхода j, то масса всей дорожки m=j*t, а элементарная порция массы dm=j*dt. Тогда по определению координаты центра масс y(цм)=(m1*y1+m2*y2+...)/(m1+m2+...) получаем:
у(цм)=($y*dm)/m = ($y*j*dt)/(j*t) = ($[0,t](ay*t^2/2)*dt)/t = (ay*t^2)/6
С учетом H=(ay*t^2)/2  получаем  у(цм)=H/3 ; h=H-у(цм) ; h=2H/3.

[ScaN]

Мде....
Мою ересь не читайте :-)
Оставлю как пример неправильного решения.